De Mach-Zehnder interferometer verklaard

Voor veel experimenten in de kwantumfysica wordt de Mach-Zehnder interferometer gebruikt. Het is nuttig voor het begrip en dus de betekenis van de experimenten die verderop beschreven worden, dit type instrument te begrijpen.

NB: In de eerste editie van mijn boek wordt bij de verklaring van de werking van de Mach-Zehnder interferometer ervan uitgegaan dat de lichtgolf en ook de kwantumgolf bij elke spiegeling een fasesprong van 90o maakt. Dat is helaas niet correct. In de 2e editie is dat gecorrigeerd maar wordt deze interferometer alleen verklaard aan de hand van de zogenaamde vlakke beamsplitter en niet van de veel vaker toegepaste cube beamsplitter, die volgens sommige bronnen toch weer anders werkt. De Nederlandse benaming voor een beamsplitter is halfdoorlatende spiegel.

Onthoudt: bij een spiegeling op een volle spiegel is er een fasesprong van 180– een top wordt een dal – wanneer het licht reflecteert tegen het oppervlak van een trager, dichter, medium maar er is geen fasesprong wanneer het  reflecteert tegen het oppervlak van een sneller, minder dicht, medium. Zie ook: Fresnelprincipe

Mach-Zehnder met cube beam splitter

Indien er gebruik gemaakt van het hieronder afgebeelde cube beamsplitter (zie figuur 1) én wanneer de hoek van reflectie die de invallende straal maakt met het reflecterend oppervlak 45o is dan treedt er volgens sommige bronnen een fasesprong van 90o op in plaats van 180o. Bij rechtdoorgaand licht is er geen fasesprong. Als we daar van uitgaan, zoals in het hieronder volgende, dan zullen we zien dat het uiteindelijk effect na de 2e beamsplitter toch weer hetzelfde is als wanneer er vlakke beamsplitters worden toegepast.

Figuur 1 – Cube beamsplitter (halfdoorlatende spiegel)

Zie figuur 2 voor een principeschets van een Mach-Zehnder. We gaan er weer van uit dat de weglengtes tussen de beamsplitters onder en bovenlangs gelijk zijn. Verder is het zo dat bij de volle spiegels 2 en 3 geen fasesprong optreedt omdat de reflectie daar in glas optreedt tegen een spiegelende laag waarachter lucht, dus een sneller voortplantingsmedium, zit. Overigens zouden eventuele fasesprongen ten gevolge van die volle spiegels onder en bovenlangs hetzelfde zijn en dus uiteindelijk bij samenkomst in beamsplitter 4 geen faseverschil teweegbrengen.

Mach-Zehnder interferometer, beide trajecten zijn even lang . Alle fotonen gaan naar D1.

Het licht dat in beamsplitter 1 reflecteert en vervolgens bovenlangs naar D1  gaat ondervindt alleen bij 1 een fasesprong van 90o. Bij beamsplitter 4 gaat het licht rechtdoor en daar treedt dus geen fasesprong op. Het licht dat onderlangs naar D1 gaat, en dus recht door beamsplitter  1 gaat, ondervindt alleen bij beamsplitter 4 een fasesprong van 90o. Voor het samengestelde licht dat aankomt bij D1 is het faseverschil dus 0o. De interferentie na beam splitter 4 is dan constructief.

NB: Bij de prisma’s 3 en 4 reflecteert het licht binnen het glas 100% tegen de spiegelende achterzijde, dus komend van een trager medium (glas) dan het medium achter de spiegels (lucht) en ondervindt geen fasesprong volgens het fresnelprincipe.

Het licht dat bovenlangs naar D2 gaat ondervindt  bij de reflecties in beide beamsplitters 1 en 4 een faseverschuiving van 90o, dus totaal 180o. Het licht dat onderlangs gaat naar D2 reflecteert alleen in 3 en ondervindt dus geen faseverschuiving. Voor het samengestelde licht dat aankomt bij bij D2 is het faseverschil dus 180o – 0o = 180o. Tegenfase. De interferentie na beamsplitter 4 is hier destructief.

Mach-Zehnder met de vlakke beamsplitter

Maar er is een ander type beamsplitter, de vlakke beamsplitter, die anders werkt zodat de fasesprongen daar essentieel anders gaan. Dit type wordt wel in de 2e editie van mijn boek uitgelegd maar het kan geen kwaad om dat hier nog eens over te doen.

Figuur 3 – Vlakke beamsplitter

Een reflectie waarbij de het spiegelend oppervlak de grens is tussen een media met een hoge snelheid – bijvoorbeeld vacüum of lucht – en een lagere snelheid – bijvoorbeeld glas of water – veroorzaakt een fasesprong van 180 graden als het een overgang is van een grotere naar een lagere golfsnelheid. Die overgangsrichting wordt bepaald door de bewegingsrichting van de golf.  Als de overgang omgekeerd van langzamer naar sneller is, dan is er wel (kans op) reflectie maar geen fasesprong. Dat volgt uit de Fresnel vergelijkingen voor reflectie en transmissie van licht. De reis van het licht door het glas veroorzaakt ook een kleine faseverschuiving maar die blijkt bij de twee beamsplitters in de Mach-Zehnder elkaar weer op te heffen.

In de hiernavolgende uitleg van de werking van de interferometer met vlakke beamsplitters, figuur 4, maak ik gebruik van fasepijlen die eigenlijk niet de fase van de golf zelf weergeven maar die corresponderen met het faseverschil tussen de golven die onder- en bovenlangs lopen. Ze staan voor het faseverschil dat ze hebben als ze elkaar weer ontmoeten in BS2 om te interfereren. Het uitgangspunt is dat de optische weg – het aantal golflengtes – onder en bovenlangs gelijk is. Naderhand zal blijken dat het ook genoeg is als de optische wegen precies een geheel aantal golflengtes verschillen.

Bij in figuur 4 afgebeelde Mach-Zehnder interferometer zit de spiegelende laag in beamsplitter 1 linksboven. De invallende golf wordt gesplitst in een gereflecteerd deel dat bovenlangs gaat en een rechtdoorgaand deel dat onderlangs gaat. Het gereflecteerde deel ondergaat bij beamsplitter 1 een fasesprong van 180o. Bij de beamsplitter 2 zit de spiegelende laag juist rechtsonder. Alleen de van onderlangs komende golf ondervindt hier bij reflectie een 180o fasesprong.

Figuur 4 – Mach Zehnder met vlakke beamsplitters

We volgen nu eerst de fasesprongen in de golf die bovenlangs gaat. Volg in figuur 5 de groene fasepijl. Het maakt niet uit met welke fase we precies beginnen dus we starten, willekeurig, met een omhoog wijzende fasepijl: 90o. De  gereflecteerde golf ondervindt bij beamsplitter 1 een fasesprong van 180o en daarna nog een keer op de bovenste volle spiegel. Dat betekent dat de fasepijl weer omhoog wijst. Let op: dat er bij het begin van de golf twee fasepijlen weergeven staan betekent niet dat de golf daar al in twee delen is gesplitst.

Figuur 5 – Mach-Zehnder met vlakke beamsplitters en fasepijlen. Klik op de figuur voor een grotere afbeelding.

Daarna wordt de bovenlangs gaande golf door beamsplitter 2 weer gesplitst. Voor het niet gereflecteerde deel is er nooit reflectie, dus geen fasesprong – en arriveert dat deel bij detector 1 met de pijl omhoog wijzend.

En voor wat de reflectie van de bovenlangs gaande golf naar detector 2 betreft: omdat de spiegelende laag van beamsplitter 2 aan de onderkant zit, ondervindt de naar detector 2 gereflecteerde bovenlangs gaande golf bij beamsplitter 2 ook géén fasesprong. Dus ook bij detector 2 arriveert de helft van de bovenlangs gaande golf met de fasepijl omhoog. Bij beide detectoren aangekomen wijst de – groene – fasepijl van bovenlangs gaande golf nu omhoog, 90o.

Nu volgen we de andere helft van de oorspronkelijke golf zoals die door beamsplitter 1 rechtdoor is gegaan, de rode fasepijl. Zie ook figuur 5. Die oorspronkelijke golf lieten we starten met een fase van 90o, pijl omhoog. Bij doorgang door beamsplitter 1 – de (rode) helft van de golf – is er geen reflectie en dus ondervindt dat deel van de golf geen fasesprong. De onderlangs gaande golf reflecteert daarna aan de onderste volle spiegel waardoor die daar een fasesprong van 180o ondervindt. De rode pijl wijst daardoor nu dus omlaag . De onderlangs gaande golf komt dan aan bij beamsplitter 2 met zijn fasepijl omlaag gericht. Op weg naar detector 1 reflecteert onderlangs gaande golf nu op de spiegelende zijde van beamsplitter 2 en ondervindt daarom weer een fasesprong van 180o en de rode pijl wijst dan weer omhoog.

Richting detector 2 is er geen fasesprong voor onderlangs gaande golf – geen spiegeling want de golf gaat nu zonder reflectie recht door beamsplitter 2 heen. De rode fasepijl blijft dus omlaag wijzen. Ik hoop dat je het allemaal hebt kunnen volgen, lees dit eventueel opnieuw en probeer dat in figuur 5 terug te vinden.

Nu kunnen we zien aan de rode en groene pijlen in figuur 5 dat de onder- en bovenlangs gaande golven elkaar versterken bij detector 1 – gelijke fasen – en dat ze elkaar uitdoven bij detector 2 – tegengestelde fasen. Het maakt zoals al gezegd overigens niet uit met welke fase de golf begint, het gaat om de optelling van de fasesprongen onderweg en het eventuele faseverschil dat bij het weer samenvoegen van de twee gehalveerde golven bestaat  waardoor constructieve of destructieve interferentie optreedt.

Het type beam splitter maakt niet uit

Voor dit verhaal, het uitdoven van het licht bij een van de twee detectoren, is het eigenlijk al voldoende als de optische weg onder- en bovenlangs precies een heel aantal golflengtes verschillen. Voor de faseverschillen is alleen het wegverschil na aftrek van het geheel aantal golflengtes belangrijk, want na 360o, een hele slag rond, beginnen we weer opnieuw te tellen vanaf 0o. Bijvoorbeeld: een wegverschil van bijvoorbeeld 355,5 golflengtes resulteert toch in een faseverschil van 180o, een halve slag rond, alleen die laatste halve golflengte is dus belangrijk. Bij monochromatisch licht – van één enkele golflengte – werkt deze interferometer daarom ook bij weglengteverschillen van een heel aantal golflengtes uitstekend. Maar bij wit licht en ongelijke optische weglengtes boven- en onderlangs zullen we merken dat de verschillende kleuren verdeeld gaan worden over de twee detectoren omdat de golflengtes voor de componenten van dat witte licht van elkaar verschillen en daardoor ook uiteenlopende faseverschillen gaan vertonen.

Of we nu gebruik maken van vlakke beam splitters of van cube beamsplitters, het resultaat is hetzelfde. Zelfs als cube beamsplitters toch fasesprongen van 180o zouden vertonen in plaats van de 90o waar we hierboven van uit zijn gegaan.

Lees eventueel ook deze uitstekende verklaring van de Mach-Zehnder met vlakke beamsplitters en zijn werking.

Open en gesloten configuratie

De hierboven beschreven interferometer bevat twee volle spiegels en twee beamsplitters. Een dergelijke configuratie heet ‘gesloten’. Wanneer de laatste beamsplitter ontbreekt dan heet de configuratie ‘open’. Bij een gesloten configuratie en gelijke optische lengte onder- en bovenlangs ontvangt alleen detector 1 licht. Dat is duidelijk het gevolg van golfgedrag van licht. Bij een open configuratie ontvangen beide detectoren evenveel licht en is het golfgedrag niet evident. Het is een goede gedachteoefening om die verklaring hier zelf te vinden. Probeert u het.

Open Mach-Zehnder. De laatste beamsplitter ontbreekt. Beide detectoren ontvangen nu evenveel licht. Er is nu geen golfgedrag maar deeltjesgedrag.

EM-golven, fotonen en kwantumgolven

Belangrijk is hier dat deze verklaring van de werking net zo goed opgaat voor lichtgolven als kwantumgolven. Maar zodra we met fotonen – deeltjes die een weg afleggen en toch met zichzelf interfereren – gaan werken komen we in de problemen, vooral met ons begrip.

Hopelijk heb ik met dit verhaal gelijk iets rechtgezet ten aanzien van de onjuiste uitleg  van deze interferometer in de eerste editie van mijn boek. Maar de uitkomst – dat bij gelijke weglengte alle licht aankomt bij detector 1 – blijft staan. Gelukkig.

Gaat u nu verder met ‘Een uitgestelde keus Mach-Zehnder experiment‘.