De kwantummechanica – Heisenberg en Schrödinger

De kwantumwet van Planck.

In 1900 ontdekte Max Planck (1858-1947) dat electromagnetische energie in pakketjes – kwanta – wordt overgedragen. Hiermee verkreeg hij namelijk een theoretische verklaring voor het uitgezonden licht van een gloeiend zwart lichaam – zoals de gloeidraad van een gloeilamp.

Zijn stralingswet luidde: E= h.f. Daarbij is E de energie van een energiepakketje, f staat voor de frekwentie. De waarde van h – de constante van Planck: 6,626 × 10E−34 Joule seconde – staat nu gebeiteld in zijn grafsteen. Hiermee verklaarde hij waarom we alleen bruin worden van UV-licht – hoge frekwentie, veel energie – maar niet van infrarood licht – lage frekwentie dus te weinig energie om onze huidcellen te beschadigen.

In 1905 verklaarde Albert Einstein (1879-1955) het foto-elektrisch effect door de energiekwanta van Planck als lichtdeeltjes te beschouwen. Niet hij maar iemand anders noemde die lichtkwanta daarop fotonen. Hiermee kregen de energiekwanta van Planck de deeltjes-status en hadden we twee niet met elkaar verenigbare beschrijvingen van licht: deeltjes en golven.

Het kwantum atoommodel van Bohr en De Broglie

In 1912 vond Niels Bohr (1885-1962) een verklaring voor de spectraallijnen van waterstof. Gloeiend waterstof zendt namelijk geen licht uit in alle mogelijke frekwenties zoals bij een gloeilamp maar de uitgezonden frekwenties hebben alleen bepaalde discrete waarden. Die uitgezonden frekwenties hebben een heel specifiek patroon dat zelfs een bepaalde wiskundig beschrijfbare samenhang vertoond.

Het atoommodel in die tijd – het begin van de twintigste eeuw – was dat de negatieve elektronen razendsnel om de positieve kern heencirkelden, als een soort minizonnestelsels. Maar daarmee konden die spectraallijnen niet verklaard worden. Niels Bohr stelde voor dat de kwantumwet van Planck – E= h.f – hier toegepast kon worden. Een rond de kern bewegend elektron zou dan alleen maar in zeer bepaalde energie toestanden kunnen verkeren. Bohr noemde die energietoestanden banen. Hij nummerde die banen in oplopende energietoestand met getallen: n=1,2,3,… etc. Als het elektron van een hogere naar een lagere energietoestand ‘sprong’ dan werd het energieverschil uitgezonden als een Einsteinfoton. Bohr stelde ook dat de sprong geen tussenweg kende, met andere woorden instantaan was, omdat anders bij het afleggen van de weg al energieverlies moest optreden volgens de wetten van Maxwell voor elektromagnetische straling.

Waarom alleen maar die banen voor de elektronen toegestaan waren kon Bohr niet uitleggen. Louis Victor de Broglie (1892-1987) deed dat wel door te veronderstellen dat wanneer (licht)golven zich ook als deeltjes (fotonen) konden gedragen, dat deeltjes (elektronen) zich dan waarschijnlijk ook wel als golven zouden kunnen gedragen. Volgens De Broglie werden die elektronenbanen van Bohr gevormd door staande elektronengolven zoals bij een trillende snaar. Er konden dan alleen maar elektronenbanen bestaan waarin precies een heel aantal golven (n=1,2,3,..etc) pasten.

Werner Heisenberg (1901-1976)

Tot 1925 was er nog geen echte fysische kwantumtheorie waarmee gerekend kon worden vanaf één solide mathematisch formele basis. De kwantumfysica was tot dan nog een samenraapsel van veronderstellingen. In dat jaar ontwikkelde Werner Heisenberg (1901-1976) de eerste opzet van de kwantummatrixmechanica waarmee de plaats én de intensiteit van de spectraallijnen van gloeiend waterstofgas formeel berekend konden worden. Zijn matrixmechanica was een lastig formalisme, gaf geen (in)zicht in de onderliggende mechanismen en produceerde alleen discrete uitkomsten. Dat was natuurlijk wel netjes in overeenstemming met de waargenomen discrete waarden voor de golflengtes in het waterstofspectrum.

Erwin Schrödinger (1887-1961)

In 1926 publiceerde Erwin Schrödinger wat nu bekend staat als de Schrödingervergelijking voor de kwantummechanica. Schrödinger zocht en vond zijn beroemde vergelijking omdat hij inzag dat het elektrongolfmodel van De Broglie voor een waterstofatoom met één enkel elektron niet kon verklaren waarom dat waterstofatoom geen plat schijfje was maar een bolletje. Hij zocht dus een oplossing voor een 3-dimensionale golf die zich bolvormig rond de kern uitstrekte.

In 1929 publiceerde Heisenberg samen met Wolfgang Pauli de grondslagen van de relativistischekwantumtheorie. Daarmee was eindelijk een degelijke theoretische basis gelegd. Men had nu zelfs twee manieren om kwantummechanische voorspellingen te doen.

De matrixmechanica van Heisenberg geeft concrete waarden als uitkomsten, de Schrödinger vergelijking geeft een golf die op elk punt alle mogelijke waarden kan aannemen. Het lijken dus twee niet verenigbare theoriën. Net als deeltjes en golven geen verenigbare beschrijvingen zijn van de werkelijkheid. Maar uiteindelijk is aangetoond dat beide benaderingen van de kwantumechanica mathematisch equivalent zijn.

Heisenbergs onzekerheidsrelatie: Δx.Δp ≥ ħ/2

In 1927 formuleerde Heisenberg zijn beroemde onzekerheidsprincipe dat zegt dat er een fundamentele omgekeerde relatie is tussen de nauwkeurigheid waarmee de impuls p (massa x snelheid) en de plaats van het deeltje gemeten kunnen worden. Fundamenteel wil zeggen dat de onzekerheid geen gevolg is van onvolkomenheden in onze meetinstrumenten. Het is een grens die de natuur oplegt aan onze metingen van fysieke objecten. De onzekerheid in de plaats is Δx, de onzekerheid in de impuls (p) is Δp, de doorgehaalde ħ (met streepje door de bovenste poot) is de zogenaamde constante van Dirac en gelijk aan h/2π. Dat is een notatieafspraak die de leesbaarheid van formules en vergelijkingen voor de fysicus prettig vereenvoudigt maar voor ons hier van geen belang is. De waarde van is ħ zo ontzettend klein dat we er pas mee te maken krijgen bij metingen aan objecten met atomaire afmetingen.

De kansgolf van Max Born (1882-1970)

Max Born gaf uiteindelijk in 1927 de fysische interpretatie van de kwantumtoestandsgolf die de oplossing van de Schrödingervergelijking voorstelt. Het kwadraat van de absolute waarde van de toestandsgolf op een bepaalde plaats en tijd blijkt de maat te zijn voor de kans om het kwantumobject – het elektron, foton, .. , etc. – op die bepaalde plaats en tijd aan te treffen. Daarmee is de kwantumgolf eigenlijk letterlijk iets ongrijpbaars geworden, kansen kun je namelijk niet beetpakken. Kansen zijn eigenlijk meer gedachten, verwachtingen die we hebben over iets en bevinden zich daarom meer in onze geest dan in de fysieke grijpbare werkelijkheid. De vraag wordt dan levensgroot hoe die niet-fysieke kansgolf overgaat in het deeltje dat we aantreffen in ons meetinstrument, het zogenaamde meetprobleem.

Schrödinger was – zoals veel fysici nog steeds – niet gelukkig met deze implicaties van de kwantumfysica. Om het absurde van de kwantumfysica – de kansgolf waarin alle mogelijkheden besloten zijn maar die pas fysiek verwerkelijkt wordt bij meting – aan te tonen kwam hij met zijn beruchte gedachtenexperiment met een kat in een gesloten doos die tengevolge van die kwantumtoestand in een toestand van tegelijk levend en dood komt te verkeren waaruit de kat pas ‘ontsnapt’ als een waarnemer de doos openmaakt. Er zijn heel wat – vaak enigszins macabere – grappen gemaakt over die kat.

Deze grap snapt u nu

Heisenberg en Schrödinger worden aangehouden voor een snelheidsovertreding. De agent vraagt aan Heisenberg:

 ”Weet u wel hoe snel u reed?”

De agent maakt de koffer open en roept: “Hela! Deze kat is dood!”

Schrödinger (boos): ”Ja, nu wel.”

Het volgende onderwerp betreft het ‘meetprobleem’ in de kwantumfysica. Wat is dat?